مسألة: عجلة أعياد الميلاد
كم دورة تحتاج قبل ما يتكرر أي رقم؟ وايد أقل من اللي يخمّنه أغلب الناس.
مسألة عيد الميلاد على عجلة فيها 37 خانةالمعداتالخانةوحدة من الحجرات الـ37 المرقّمة على الدوّار. ينقال لها بعد: الفتحة، الكأس.اقرأ النص كله ←: بعد 8 دورات بس يصير احتمال إن رقم معيّن طلع مرتين أكثر من النص. اللاعبين يقرون التكرار على إنه نمط؛ بس هو التصرف المتوقع من عجلة نزيهة.
المسألة
دوّر عجلة أوروبية نزيهة. كم دورة تحتاج لين احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لين 1 أو من 0% لين 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← إن دورتين على الأقل طلّعوا نفس الرقم يعدّي النص؟ أغلب اللاعبين يخمّنون شي حوالي 18 ولا 19، يعني نص 37. والجواب 8.
الحل
احسب احتمال إن ما فيه تكرار واطرحه من واحد. بعد k دورة، p(كلها مختلفة) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). عند k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44، يعني p(أي تكرار) ≈ 0.56. وعند k = 14 يصير 0.93؛ وعند k = 20 يصير 0.996. الحدس يغلط لأن عدد أزواج الدورات يكبر بمعدل k²، وأي زوج منهم ممكن يتطابق.
ليش هذا يهم على الطاولة
لوحة النتايج اللي تعرض آخر 20 رقم تقريبًا دايمًا بتبين فيها تكرار واحد على الأقل، وأحيانًا وايد اثنين ولا ثلاثة. اللاعبين يشوفون «17 طلع مرتين في عشر دورات» ويقولون إن 17 رقم ساخن؛ بس حسبة عيد الميلاد تقول إن التكرار خلال عشر دورات يصير في 74% من الحالات والرقم اللي يتكرر عشوائي. النمط حقيقي؛ أما المعنى فلا.
المسألة اللي بعدها
كم دورة تحتاج لين رقم محدد، خلنا نقول 17، يطلع مرتين؟ هذا سؤال ثاني وجوابه أكبر بوايد: الانتظار المتوقع 74 دورة، واحتمال إن 17 يطلع مرتين خلال 20 دورة حوالي 10%. والفرق بين «أي رقم يتكرر» (8 دورات) و«هذا الرقم يتكرر» (74 دورة) هو كل الفرق بين نمط تلاحظه بعد ما يصير وتوقّع تقوله من قبل.
جرّبها
شغّل اللعبة التجريبية عشر دورات وشوف السجل. عادةً بيكون فيه تكرار. شغّلها مرة ثانية. الرقم اللي يتكرر بيكون غير. سوّها عشر مرات وتكون شفت مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخص تحتاج لين يصير الأرجح إن اثنين منهم يتشاركون يوم الميلاد، أو كم دورة لين يصير الأرجح إن رقم يتكرر. على عجلة فيها 37 خانة، 8 دورات تكفي عشان يصير الاحتمال أكبر من النص.اقرأ النص كله ←؛ وسوّها ألف مرة (المحاكيات تقدر) وتكون قستها.
الصيغة
أسئلة
بالضبط، بس 37 خانة بدال 365 يوم. 23 شخص يعطون 50% في أعياد الميلاد؛ و8 دورات تعطي 56% في العجلة.
احتمال 50% بعد حوالي 19 دورة. وبعده شي عادي.
لا. آلاف الدورات من عجلة وحدة ممكن تدل عليه؛ أما التكرار فأبد ما يدل.
وناسة الرياضيات
جرّب تحلها بنفسك أول. كل حل مسكّر؛ افتحه لمّا تكون جاهز.
لوحة النتائج اللي جنب عجلة أمريكية تعرض آخر 16 دورة. شكثر احتمال إن ولا رقم يطلع عليها مرتين؟
شوف الحل
الجواب تقريبًا 2.5%: تقريبًا 39 لوحة من كل 40 فيها تكرار واحد على الأقل.
امش دورة دورة. الدورة الأولى ممكن تطلع أي رقم. والثانية لازم ما تطلع نفسه: 37 احتمال من 38. والثالثة لازم ما تطلع ولا واحد من الرقمين: 36 من 38. والسادسة عشر لازم ما تطلع ولا واحد من خمسطعش رقم: 23 من 38.
اضرب: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246.
اللوحة اللي ما فيها تكرار هي النادرة. واللوحة اللي فيها تكرار ما تقول لك ولا شي عن العجلة.
في عشر دورات على عجلة أوروبية، شكثر احتمال إن الرقم 17 يطلع خمس مرات بالضبط؟ وإن أي رقم، أي رقم كان، يطلع خمس مرات أو أكثر؟ وإن رقم يطلع ثلاث مرات على الأقل في أربع دورات؟
شوف الحل
الجواب الرقم 17 خمس مرات بالضبط: 1 من 315,576. أي رقم خمس مرات أو أكثر: تقريبًا 1 من 8,333. أي رقم ثلاث مرات أو أكثر في أربع دورات: 1 من 349.
الرقم 17 خمس مرات: اختار أي خمس من الدورات العشر، 252 طريقة، وكل وحدة احتمالها (1/37)⁵ × (36/37)⁵. كلها مع بعض، 1 من 315,576.
أي رقم: كل رقم من الـ37 احتماله 1 من 308,325 إنه يصيب خمس مرات أو أكثر، وهذا يعطي 37 من 308,325، يعني 1 من 8,333. الحالة النادرة اللي فيها رقمين كل واحد يصيب خمس مرات تنحسب مرتين، بس لو شلتها ما يتغير ولا شي بهالدقة.
ثلاث مرات في أربع دورات: لرقم واحد، 4 × 36 + 1 = 145 من الـ37⁴ نتيجة ممكنة؛ ولأي رقم من الـ37، 145/37³ = 1 من 349.
وعلى عجلة بصفرينالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ←، الأرقام المقابلة 1 من 359,275 و1 من 9,243 و1 من 368. والفرق بين «17» و«أي رقم» هو مسألة عيد الميلادرياضياتمسألة عيد الميلادكم شخص تحتاج لين يصير الأرجح إن اثنين منهم يتشاركون يوم الميلاد، أو كم دورة لين يصير الأرجح إن رقم يتكرر. على عجلة فيها 37 خانة، 8 دورات تكفي عشان يصير الاحتمال أكبر من النص.اقرأ النص كله ← مرة ثانية: فيه 37 طريقة تنفاجأ فيها.
استراحة ضحك
فيه شي يتكرر بدري. وهذا الشي عشوائي.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard”، أسئلة عن الروليت.