مسألة: حدّ الطاولة
مارتينغال برهان أساسي $10 على طاولة حدّها $500. كم مرة ينكسر، وكم يخسر لمّا ينكسر، وهل رفع الحدّ يفيد؟
ست خسائر ورا بعض تكسره: 1.8% في كل حلقة، وتقريبًا 60% من جلسات الـ100 دورة. والانكسار يكلّف $630. ورفع الحدّ لين $5,000 يخلّي الانكسار أندر (0.25% في كل حلقة) وأكبر ($5,110). والخسارة المتوقعة على كل دولار تراهن فيه 2.70% عند أي حدّ.
المسألة
لاعب يراهن بـ$10 على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← ويضاعف بعد كل خسارة، ويرجع للبداية بعد كل ربح. الحدّ الأقصى للطاولة $500. (a) كم خسارة ورا بعض تكسر التدرّجاستراتيجيةالتدرّجأي قاعدة تغيّر مبلغ الرهان على حسب النتائج اللي فاتت. التدرّجات السلبية ترفعه بعد الخسارة، والإيجابية بعد الربح.اقرأ النص كله ←؟ (b) كم الاحتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لين 1 أو من 0% لين 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← في كل حلقة؟ (c) شنو اللي تخسره عند الانكسار؟ (d) شلون حدّ $5,000 يغيّر الأجوبة؟ (e) فيه حدّ يخلّي النظام مربح؟
حلول (a)–(c)
مبالغ الرهان: 10، 20، 40، 80، 160، 320. السابع بيكون 640 > 500، فست خسائر تكسره. (b) p(الخسارة) = 19/37 على الأحمر؛ (19/37)⁶ = 0.0183، يعني تقريبًا 1.8% في كل حلقة. الحلقة تطوّل تقريبًا دورتين في المتوسط، فجلسة فيها 100 دورة فيها حوالي 50 حلقة، وp(انكسار واحد على الأقل) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630، يعني 63 وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات عشان تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← أساسية، مقابل الـ$10 اللي كانت الحلقة تحاول تربحها.
حل (d)
عند $5,000: مبالغ الرهان لين 2,560 مسموحة؛ أما الرهان العاشر، 5,120، فمرفوض. تسع خسائر تكسره: (19/37)⁹ ≈ 0.25% في كل حلقة، يعني حوالي 11% من جلسات الـ100 دورة. الخسارة عند الانكسار: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110. اللاعب اشترى كارثة أندر بسعر كارثة أكبر. وعلى جلسات وايد، التكلفة المتوقعة للانكسارات p × الخسارة ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 في كل حلقة عند حدّ $500، و0.0025 × 5,110 = $12.8 عند $5,000؛ الرقمين قريبين من بعض بس مو متساويين، وكل واحد منهم هو الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة ضرب المبلغ الكلي اللي راهنت فيه؛ يعني متوسط المبلغ اللي تخسره في جلسة أو في فترة.اقرأ النص كله ← للحلقة وفوقها الـ$10 اللي تربحها الحلقات الرابحة.
حل (e)
لا. الخسارة المتوقعة في كل حلقة = (إجمالي مبلغ الرهان المتوقع في الحلقة) / 37، عند أي حدّ، لأن كل رهان يساوي −1/37 من نفسه. الحدّ بس يقرر شلون تتوزع الخسارة بين أرباح صغيرة وايد وخسائر كبيرة قليلة. وبدون حدّ ومع رأس مالالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال إنك تحدد كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ النص كله ← ما له نهاية، كان التدرّج بـ«يشتغل»، يعني ما بينكسر أبد، بس كان بيراهن بعد بمبلغ ما له حد وخسارته المتوقعة 2.70% من هذا المبلغ اللي ما له حد. مو حدّ الطاولةالطاولةحدّ الطاولةأقل وأكثر رهان مسموح. والحد الأقصى هو اللي يوقف تدرّجات المضاعفة.اقرأ النص كله ← اللي يمنع مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف شنو يسوّي وشنو ما يسوّي.اقرأ النص كله ← إنه يشتغل. الحسبة هي اللي تمنعه.
طاولتين حقيقيتين
مثال ثورب طاولة حدّها الأدنى $1 والأقصى $1,000، لاعب فيها يتمنى يربح $30 حق عشاه، دولار ورا دولار. مبالغ الرهان 1، 2، 4 … 512 تسمح بعشرة رهانات، فعشر خسائر ورا بعض تكسر التدرّج: مرة كل 785 حلقة على العجلة الأوروبية (ومرة كل 613 على الأمريكية)، بتكلفة $1,023. الثلاثين حلقة كلها تنجح في 96.2% من الحالات. أما الـ3.8% الباقية فتخسر حوالي $1,000، ومتوسط نتيجة السهرة −$9.17، وهذا بالضبط 1/37 من الـ$339 اللي تراهن فيها الثلاثين حلقة في المتوسط. وطاولة حدّها الأدنى $5 والأقصى $2,000 نفس الشي: مبالغ الرهان لين $1,280 تسمح بتسعة رهانات، والانكسار يجي مرة كل 403 حلقات على العجلة الأوروبية (ومرة كل 323 على الأمريكية) ويكلّف $2,555.
لاعب غني
عط التدرّج رأس مال كبير بدال حدّ واطي: 1,000 وحدة، ورهان أساسي بوحدة وحدة، و1,000 دورة على الأحمر، وترجع لوحدة وحدة كل ما كانت المضاعفة الجاية أكبر من اللي باقي. إحنا سوّينا محاكاة لمليون سهرة من هذا النوع. على العجلة الأوروبية 52% منها تخلص بربح، و21% تخسر كل شي، ومتوسط النتيجة −124 وحدة. وحتى في لعبة بدون صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ←، كل رهان فيها عادل، بس حوالي 60% بتخلص بربح. السهرة العادية ربح صغير؛ والمتوسط تدفع حقه السهرات اللي تخلص عند الصفر.
الدرس
الكازينوهات تحط الحدود عشان تقيّد التباينرياضياتالتباينمقياس لكم النتائج منتشرة حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ← مالها هي، مو عشان تهزم أنظمة الرهان. هزيمة مارتينغال أثر جانبي هم مستانسين عليه، والحسبة كانت بتهزمه على كل حال. واللاعب اللي يحسب إن الحدّ هو المشكلة عرف وين الهاوية وحسبها هي المنحدر.
الصيغة
أسئلة
يخلّيك تصمد لين حدّ أعلى، وعنده الانكسار أندر وأكبر. والخسارة المتوقعة على كل دولار ما تتغير.
مبالغ الرهان 10، 30، 70، 150، 310: توصل حدّ $500 بعد خمس خسائر، والانكسار يكلّف $570. ونفس الـ2.70%.
عشان لاعب واحد ما يقدر يراهن بأكثر من اللي يقدر احتياطي الكازينو يدفعه وهو مرتاح. هذي إدارة تباين.
وناسة الرياضيات
جرّب تحلها بنفسك أول. كل حل مسكّر؛ افتحه لمّا تكون جاهز.
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف شنو يسوّي وشنو ما يسوّي.اقرأ النص كله ← يبدأ بـ$100 على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← ويسمح لنفسه بـn رهان بالأكثر في كل حلقة: بعد n خسارة ورا بعض يستسلم ويبدأ من جديد. اكتب متوسط نتيجة الحلقة الوحدة كصيغة بدلالة n، واحسبه لـ5 و6 و7 رهانات على عجلة أوروبية.
شوف الحل
الجواب المتوسط هو 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 لـ5 رهانات، −$17.35 لـ6، −$20.52 لـ7. لمّا تسمح برهانات أكثر، متوسط الحلقة يصير أسوأ، مو أحسن.
الحلقة تربح $100 إلا إذا خسرت الـn رهانات كلها، وهذا يصير باحتمال qⁿ، وq = 19/37. ولمّا تخسر كلها، مبالغ الرهان 100، 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ مجموعها 100 × (2ⁿ − 1). يعني المتوسط هو 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
هني 2q = 38/37، يعني أكثر من 1 بشوي، فـ(2q)ⁿ يكبر مع n والمتوسط ينزل: n = 5 يعطي 1.1426، يعني −$14.26؛ n = 6 يعطي 1.1735، يعني −$17.35؛ n = 7 يعطي 1.2052، يعني −$20.52. السلّم الأطول يخسر أقل، في 3.6% و1.8% و0.9% من الحلقات، بس كل خسارة أكبر بمرتين، وفلوس أكثر تعبر الطاولة كل حلقة، و2.70% على كل رهان.
وعلى العجلة الأمريكية 2q = 40/38 والأرقام −$29.24، −$36.04، −$43.20 (تايلور، 2021). وفي لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← 2q = 1، ومتوسط كل حلقة صفر بالضبط مهما طال السلّم.
«مارتينغال الكبير» يضاعف مبلغ الرهان بعد الخسارة ويزيد وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات عشان تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← وحدة، فمبالغ الرهان تمشي 1، 3، 7، 15، 31 … كم تكون رابح لمّا يجي أول ربح في الرهان الأول أو الثاني أو الثالث أو في الرهان رقم k؟ وبوحدة $10 وحدّ أقصى $500، كم مرة الحلقة تنكسر، وكم تكلّف الحلقة في المتوسط؟
شوف الحل
الجواب الربح في الرهان رقم k يخليك رابح k وحدات: +1، +2، +3 وعلى هالحساب. وبـ$10 و$500 الحلقة تنكسر بعد خمس خسائر، في 3.57% من الحلقات، بخسارة −$570. وفي المتوسط الحلقة تخسر $2.32 من $85.73 راهنت فيها: 2.70%.
مبلغ الرهان رقم k هو 2ᵏ − 1 وحدة: 1، 3، 7، 15، 31. ومجموع أول k − 1 مبالغ هو 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. والربح في الرهان رقم k يدفع 2ᵏ − 1، فالحلقة تخلص وإنت رابح (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k وحدة: وحدة زيادة عن كل خسارة قبل الربح.
بوحدة $10 مبالغ الرهان $10 و$30 و$70 و$150 و$310؛ واللي بعدها، $630، أكثر من الحدّ الأقصى $500. وخمس خسائر ورا بعض، (19/37)⁵ = 3.57%، تكلّف 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
المتوسط: الأرباح تجيب $10 × k باحتمال (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 لقيم k من 1 إلى 5، والانكسار ياخذ $570 باحتمال 3.57%؛ والمجموع −$2.32. ومتوسط الفلوس اللي تراهن فيها $85.73 كل حلقة، و2.32/85.73 = 2.70%. أما مارتينغال العادي على نفس الطاولة فينكسر بعد ست خسائر، في 1.83% من الحلقات، بخسارة −$630، ويخسر $1.74 من $64.20 راهنت فيها: 2.70% مرة ثانية.
لاعب يخطط يلعب مارتينغال على الأحمر بأول رهان $1 على طاولة حدّها $1,000، يعني عشرة رهانات ممكنة: $1، $2، $4 وعلى هالحساب لين $512. كم مرة الحلقة تخسر العشرة كلها، كم ياخذ هذا في المتوسط، وكم مرة سهرة فيها 200 رهان تخلص بهالشكل؟
شوف الحل
الجواب الحلقة تخسر العشرة كلها تقريبًا مرة من كل 784، وهذا يكلّف $1,023. يعني تقريبًا 1,600 رهان في المتوسط، وسهرة فيها 200 رهان تدق في الجدار تقريبًا في 11% من المرات. والحلقة بعدها تخسر في المتوسط $0.31 من $11.31 راهنت فيها: 2.70%.
رهان الأحمر يخسر باحتمال 19/37، والصفر محسوب. عشر مرات ورا بعض: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128، يعني تقريبًا 1 من 784. ومبالغ الرهان 1 + 2 + 4 + … + 512 مجموعها $1,023.
الحلقة تاخذ 2.05 رهان في المتوسط، فـ784 حلقة تاخذ تقريبًا 1,600 رهان. ولو تحسبها دورة دورة، سلسلة من عشر خسائر تطلع في مكان ما في 200 رهان في 11.3% من المرات.
بين كارثة وكارثة اللاعب يربح $1 كل حلقة: تقريبًا $783 قبل الحلقة الخايبة، وبعدين −$1,023، يعني تقريبًا −$240 على الفترة كلها. وكل حلقة: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31. والفلوس اللي تراهن فيها كل حلقة: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31. والقسمة: −0.31/11.31 = −2.70%.
قارنها بأول رهان $10 عند حدّ $500، يعني ست رهانات: الجدار يجي مرة كل 55 حلقة، وسهرة فيها 200 رهان تدق فيه في 84% من المرات. الحدّ الأعلى يخلّي الانهيار أندر وأكبر، مو أرخص.
استراحة ضحك
أندر وأكبر، عند أي حدّ. والحاصل ما يتغير.
المصادر
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.