الانحراف المعياري في الروليت
الانحراف المعياري في الروليت، يعني الجذر التربيعي لـالتباينرياضياتالتباينمقياس لكم النتائج منتشرة حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ←، هو المسافة المعتادة بين النتيجة والنتيجة المتوقعة.
على كل $1 تراهن فيه، σ تساوي 5.84 لرهان الرقم الواحد و1.00 للأحمر. اضربها في مبلغ الرهان وفي الجذر التربيعي لعدد الدورات عشان تطلع رقم الجلسة.
قاعدة تقريبية
تقريبًا ثلثين الجلسات تطيح على بعد σ وحدة من النتيجة المتوقعة، و95% على بعد اثنين. لو لعبت 100 دورة على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← بـ$10 (المتوقع −$27، σ = $100)، أغلب الجلسات بتكون بين −$127 و+$73، وكلها تقريبًا بين −$227 و+$173. النتيجة اللي تطلع برا هذا المدى ما تثبت أي شي، غير إن جلسة وحدة من كل عشرين تسويها.
ليش √N
الخسارة المتوقعةرياضياتالخسارة المتوقعةالقيمة المتوقعة ضرب المبلغ الكلي اللي راهنت فيه؛ يعني متوسط المبلغ اللي تخسره في جلسة أو في فترة.اقرأ النص كله ← تكبر بنسبة N؛ والتشتت يكبر بنسبة √N. لمّا N صغير، التشتت هو اللي يغلب، والجلسات مثل رمي عملة مع ميلان بسيط. ولمّا N كبير، الخسارة تسبق التشتت. نقطة التقاطع، اللي فيها الخسارة المتوقعة تساوي انحراف معياريرياضياتالانحراف المعياريالجذر التربيعي للتباين؛ يعني المسافة المعتادة بين النتيجة والقيمة المتوقعة.اقرأ النص كله ← واحد، تكون عند N = (σ/الميزة)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 دورة للدفع المتساوي، و(5.84/0.027)² ≈ 46,800 لـرهانات الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ←. تحت هذي الأرقام، الحظ هو اللي يقرر؛ وفوقها، الميزة هي اللي تقرر.
شلون تستخدمه
عشان تعرف إذا الجلسة كانت غريبة، احسب (النتيجة − EV)/σ. لاعب يراهن $10 على الأحمر وخلّص 100 دورة على +$150 يكون عند (150 + 27)/100 = 1.77σ، نتيجة تصير مرة من 25: حظ، بس مو شي يلفت النظر. ولاعب رهانات الرقم الواحد عند نفس الـ+$150 يكون عند 0.3σ: ليلة عادية. نفس النتيجة بالدولار معناها يختلف من رهان لرهان.
الخطأ المعياري لنسبة
نفس الحساب يقول لك كم دورة تحتاج عشان تشوف الميزة في البيانات. الخطأ المعياري لنسبة الربح اللي تشوفها هو √(p(1 − p)/N). للأحمر مع N = 1,000: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6%. الفرق بين عملة عادلة والأحمر 1.35%، فبعد 1,000 دورة بعدك ما تقدر تفرق بينهم وإنت متأكد. بعد 10,000 يصير الخطأ المعياري 0.5% وتقدر. وعشان كذا بعد كشف انحياز العجلة يحتاج وايد دورات.
انتبه من الالتواء
نتايج رهان الرقم الواحد بعيدة وايد عن التوزيع الطبيعي في الجلسة القصيرة: أغلب الجلسات −$10 ثابتة كل دورة، ومرة كل فترة قفزة +$350. قاعدة ±1σ توصف التشتت صح، بس توصف الشكل غلط لين يوصل N للمئات. أما رهانات الدفع المتساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، ويدفع 1:1.اقرأ النص كله ←، فالتقريب الطبيعي زين من حوالي 30 دورة.
الصيغة
أسئلة
هي دليل إنك لعبت تقريبًا 40 جلسة، أو إنك كنت في الجلسة المحظوظة من كل أربعين. عيدها وشوف.
يتأرجح أقل وأقل: الخطأ المعياري للمتوسط هو σ/√N. عند N = 10,000 يكون 1% من مبلغ الرهان.
وناسة الرياضيات
جرّب تحلها بنفسك أول. كل حل مسكّر؛ افتحه لمّا تكون جاهز.
على 100 دورة في عجلة أوروبية، وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات عشان تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← وحدة على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ← تكون رابحة إذا حصّلت 51 ربح على الأقل، ووحدة وحدة على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ← تكون رابحة إذا طلع رقمها 3 مرات على الأقل. استخدم منحنى الجرس عشان تقدّر الاحتمالين، وبعدين قارنهم بالأجوبة الدقيقة.
شوف الحل
الجواب الأحمر: منحنى الجرس يعطي 35.6% والجواب الدقيق 35.5%. رهان الرقم الواحد: منحنى الجرس يعطي 55.0% والجواب الدقيق 50.9%. الطريقة المختصرة تزبط مع الأحمر وتغلط مع الرقم الواحد.
الأحمر: متوسط الأرباح 100 × 18/37 = 48.6، بتشتت قدره √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0. إنك تكون رابح معناه 51 أو أكثر؛ ونقطة النص، 50.5، فوق المتوسط بـ0.37 من التشتت، ومنحنى الجرس يحط 35.6% فوقها. ولو تجمع الاحتمالات الدقيقة لـ51 و52 … 100 ربح يطلع 35.5%.
رهان الرقم الواحد: متوسط الإصابات 100/37 = 2.70، بتشتت قدره √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62. ثلاث إصابات أو أكثر معناها فوق 2.5، يعني 0.12 من التشتت تحت المتوسط: 55.0% بمنحنى الجرس. وبالضبط هو 1 ناقص احتمالات 0 و1 و2 إصابة، 6.5% + 17.9% + 24.7%، فيبقى 50.9%.
منحنى الجرس يحتاج نتايج وايد على جانبين المتوسط. والأحمر عنده هالشي بعد 100 دورة؛ أما رقم يطلع أقل من ثلاث مرات في المتوسط فلا. والمنحنى حتى يعطي 8.7% لـ«ولا إصابة»، والاحتمال الحقيقي 6.5%. وتايلور (2021) يحط التوزيع ذو الحدّين ومنحنى الجرس جنب بعض بنفس الطريقة.
استراحة ضحك
جلسة وحدة من كل عشرين تطلع برا اثنين سيغما. دايمًا فيه أحد على الذيل.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.