خطر الإفلاس
احتمال إنك تخسر رأس مالك كله قبل ما توصل لهدفك.
على رهانات الدفع المتساوي، خطر الإفلاس يمشي على صيغة إفلاس المقامر. لو رأس مالك $500، ورهاناتك $10، وهدفك $600، بتوصل للهدف تقريبًا 57% من المرات، وفي الباقي بتفلس.
السؤال
عندك a وحدةالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات عشان تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← رأس مال اللعبالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال إنك تحدد كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ النص كله ← وتبي توصل لـa + b وحدة، وتراهن وحدة وحدة على رهان دفع متساويرهانرهان الدفع المتساويأحمر/أسود، فردي/زوجي، عالي/منخفض. 18 رقم، ويدفع 1:1.اقرأ النص كله ← احتمالرياضياتالاحتمالفرصة إن نتيجة معيّنة تصير، من 0 لين 1 أو من 0% لين 100%. رقم واحد: 1/37 = 2.70%.اقرأ النص كله ← الربح فيه p = 18/37 واحتمال الخسارة q = 19/37. كم احتمال إنك توصل للهدف قبل ما توصل للصفر؟ الجواب حسبوه باسكال وفيرما وهويغنز في خمسينيات القرن الـ17، وهو من أقدم النتايج في علم الاحتمال.
صيغة إفلاس المقامر
P(الوصول للهدف) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). وخطر الإفلاسرياضياتخطر الإفلاساحتمال إنك تخسر رأس مال اللعب كله قبل ما توصل لهدف أو لعدد معيّن من الدورات.اقرأ النص كله ← هو واحد ناقص هذا. مع q/p = 19/18 ≈ 1.0556، النسبة تكبر بشكل أسّي مع عدد الوحدات، فالصيغة تعاقب الوحدات الصغيرة بقوة: كل ما احتجت رهانات أكثر عشان توصل للهدف، كل ما دفعت ضريبة الـ2.70% مرات أكثر في الطريق.
شلون تقراها
الوحدات الصغيرة تضر. إذا حاولت تضاعف $500 برهانات $10، بتنجح 6% من المرات؛ وبرهان واحد بـ$500 بتنجح 48.6% من المرات. اللعب الجريء، يعني رهانات أقل وأكبر، يعطيك أعلى احتمال توصل فيه لهدف في لعبة قيمتها المتوقعة سالبة، لأنه يقلل لأقل حد عدد المرات اللي تنطبق فيها الميزة. بس بعد يرفع لأعلى حد تباينرياضياتالتباينمقياس لكم النتائج منتشرة حول القيمة المتوقعة. عالي في رهان الرقم الواحد، وواطي في رهانات الدفع المتساوي.اقرأ النص كله ← اللي يصير لك، ويخلّص السهرة بسرعة. هذي المبرهنة اسمها «اللعب الجريء هو الأمثل»، وبرهنها دوبنز وسافيج سنة 1965.
من وين بدت المسألة
السؤال أقدم من الروليت. في 1656 عطى باسكال فيرما لغز: لاعبين يرمون ثلاثة نرود، كل واحد يبدأ بـ12 قطعة عدّ؛ رمية مجموعها 11 تحرّك قطعة لجهة، ورمية مجموعها 14 تحرّكها للجهة الثانية. الاثنين حلّوه، وهويغنز، اللي سمع فيه من رسالة من عالم الرياضيات بيير دو كاركافي، نشره سنة 1657 على إنه المسألة الخامسة في أول كتاب عن الاحتمال، مع الجواب وبدون برهان. مجموع أحد عشر يطلع بـ27 طريقة، وأربعة عشر بـ15 بس، فكل قطعة تتحرك لجهة اللاعب الأول 9 مرات من 14، والصيغة اللي فوق، مع 12 قطعة لكل واحد، تخلي احتمال إنه يربح كل شي أكبر تقريبًا 1,157 مرة من احتمال إنه يخسر كل شي. ميزة 2.70% أصغر بوايد، بس نفس الصيغة تبين شنو تسوي على وايد رهانات.
رهان جريء حقيقي
في أبريل 2004، آشلي ريفيل، شاب إنجليزي، باع تقريبًا كل شي عنده، حتى ملابسه، وأخذ $135,300 لكازينو Plaza في لاس فيغاس. بعد كم رهان صغير، حط المبلغ كله على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ←، مرة وحدة. الكرةالمعداتالكرةالكرة الصغيرة اللي تنطلق في المسار عكس اتجاه الدوّار. الكرات الحديثة من الإيفورين أو التفلون، وقطرها 18–21 مم.اقرأ النص كله ← طاحت على 7 الأحمر وطلع ومعه $270,600. على عجلة فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← مزدوج، احتمال هذيك الدورة كان 47.37%، وكلّفته في المتوسط $7,121، يعني ميزة الـ5.26% على رهان واحد. ولو وزّع نفس الهدف على رهانات $10، كان بيكون تقريبًا ما منه أمل. اللعب الجريء ما يخلي الرهان زين؛ بس يخليه أقصر ما يمكن.
خطر الإفلاس بدون هدف
إذا إنت بس تلعب لين تفلس أو توقف بعد N دورة، السؤال يصير «كم احتمال إن رأس مالي يلمس الصفر خلال N دورة؟». ما فيه صيغة مغلقة لأي N، بس المحاكيات في هذا الموقع تحسبه: رأس مال $500 برهانات $10 على الأحمر تقريبًا أبد ما يفلس في 100 دورة (أقل من 1%)، ويفلس تقريبًا 9% من المرات في 500 دورة، وتقريبًا 95% من المرات في 5,000. وإذا ما عندك قاعدة توقف فيها، الاحتمال يقرّب من 100%، وهذي نسخة المدى الطويل من ميزة الكازينورياضياتميزة الكازينوالحصة من كل مبلغ رهان اللي ياخذها الكازينو في المتوسط: 2.70% في الروليت الأوروبي.اقرأ النص كله ←.
- p10 −$500
- p25 −$500
- الوسيط −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
كم يدوم رأس المال، ولوين يقدر يتقدّم
فيه نتيجتين كلاسيكيتين ثانيتين تجاوب على أسئلة يسألها اللاعبين فعلًا. بدون هدف، رهانات الدفع المتساوي الثابتة تدوم في المتوسط 37 دورة على كل وحدة من رأس مال اللعب في العجلة الأوروبية، و19 في الأمريكية، لأن كل دورة تاخذ 1/37 من الوحدة في المتوسط (1/19 في العجلة الأمريكية): 100 وحدة تدوم 3,700 دورة في المتوسط، مع إن نص هذي الجلسات يخلص خلال 3,134 (شوف مدة الجلسة وكلفتها). ومهما كان رأس المال كبير، احتمال إنك في يوم من الأيام تكون متقدّم بـk وحدة على العجلة الأوروبية هو (18/19)ᵏ. يعني 95% لوحدة وحدة و58% لعشر، بس ما فيه رأس مال، مهما كان عميق، يعطيك احتمال النص إنك في يوم تكون متقدّم بـ13 وحدة؛ وعلى العجلة الأمريكية الاحتمال (9/10)ᵏ وينزل تحت النص عند 7 وحدات.
رأس المال اللازم لاحتمال النص
اقلب السؤال: كم لازم تجيب عشان يكون عندك على الأقل احتمال النص إنك تربح مبلغ معيّن قبل ما تخسر كل شي؟ لربح صغير، مو وايد. لربح أكبر، رأس المال اللي تحتاجه يرتفع بقوة، وبعد حد معيّن ما فيه رأس مال يكفي، لأن حتى رأس المال اللي ما يخلص يعطيك أقل من احتمال النص إنك في يوم توصل لهذا التقدّم. تايلور (2021) يقولها بطريقة ثانية: على عجلة أمريكية، عشان يكون عندك احتمال النص توصل لـ100 وحدة، لازم تبدأ بـ94، يعني تخاطر بـ94 عشان تربح 6. وعلى عجلة أوروبية تحتاج 88.
الدرس العملي
قرر شنو تبي تسوي. إذا هدفك ربح معيّن، راهن رهانات كبيرة وقليلة. وإذا هدفك سهرة طويلة، راهن صغير واقبل إن الميزة بتاخذ 2.70% حقها من إجمالي مراهناتالمالإجمالي المراهناتالمبلغ الكلي اللي تراهن فيه خلال جلسة أو فترة، مع الأرباح اللي رجعت تنراهن. ينقال له بعد: handle، action.اقرأ النص كله ← كبير. وإذا تبي الاثنين، لازم تتنازل عن شي، وعادةً يكون الهدف.
الصيغة
أسئلة
مارتينغالاستراتيجيةمارتينغالتدرّج يضاعف الرهان بعد كل خسارة. شوف قسم الاستراتيجية عشان تعرف شنو يسوّي وشنو ما يسوّي.اقرأ النص كله ← يقلله في الجلسات القصيرة ويرفعه بقوة في الطويلة. والرهان الثابتاستراتيجيةالرهان الثابتإنك تراهن بنفس المبلغ كل دورة. هذا الأساس اللي ينقارن فيه كل تدرّج.اقرأ النص كله ← بوحدة أكبر هو الطريقة الصادقة اللي تقلله فيها.
الصيغة اللي فوق للدفع المتساوي. في الرهانات اللي تباينها عالي، الإفلاس أقرب مع المبالغ الصغيرة، والوصول للهدف يصير بقفزات؛ استخدم الحاسبة.
كل خطوة لجهة الهدف احتمالها أقل شوي من كل خطوة لجهة الإفلاس؛ والنسبة تتراكم على عدد الخطوات.
وناسة الرياضيات
جرّب تحلها بنفسك أول. كل حل مسكّر؛ افتحه لمّا تكون جاهز.
معاك $100 وتبي $1,000، وتراهن بس على الأحمررهانالأحمررهان دفعه متساوي على الأرقام الحمراء الـ18. بالفرنسي: rouge.اقرأ النص كله ←. الخطة الأولى: تراهن بـ$1 كل مرة. الخطة الثانية: تراهن بكل اللي معاك لين تعدّي $500، وبعدين بس بالمبلغ اللي يكفي عشان توصل $1,000. أي خطة أحسن، وبكم؟
شوف الحل
الجواب الخطة الثانية، وبفرق كبير. توصل $1,000 تقريبًا في 9.0% من المرات، قريب من الـ10% العادلة. أما الخطة الأولى فتنجح تقريبًا 7 مرات من 10²².
في لعبة عادلةرياضياتاللعبة العادلةلعبة ما فيها أي طرف عنده ميزة: القيمة المتوقعة لكل رهان صفر.اقرأ النص كله ← بتوصل $1,000 من $100 مرة من كل عشر مرات شنو ما سويت، لأن متوسط قيمة فلوسك يبقى $100.
الميزة تاخذ 2.70% من كل رهان، فكل ما قلّ اللي تراهن فيه بالمجموع، تبقى أقرب لمرة من كل عشر. والخطة الثانية تحسم السالفة في كم رهان: $100 تصير $200، و$400، و$800، وبعدين يكفيك $200. وتنجح تقريبًا في 9.0% من المرات. أما الخطة الأولى فتاخذ آلاف الرهانات قبل ما يخلص المشوار، والميزة، الصغيرة في كل رهان، تتجمّع لين يصير الإفلاس شبه أكيد.
هذي نتيجة دوبنز وسافيج في أبسط شكل لها (إبستين، 2013): في لعبة تميل للكازينو، راهن بقد ما تحتاج، وبأقل عدد مرات تقدر عليه.
معاك $500 وتبي $1,000، وبتوقف أول ما توصلها. تختار نوع واحد من الرهانات وتكرره لين يربح مرة وحدة أو تخلص الفلوس. أي نوع يعطيك أحسن احتمال؟
شوف الحل
الجواب رهان واحد بـ$500 على الأحمر: 48.6%. وكل خطة توزّع الفلوس على رهانات أصغر تطلع أسوأ.
اختار كل مبلغ رهان بحيث ربح واحد يكفي: $30 على رهان الرقم الواحدرهانرهان الرقم الواحدرقم واحد، ويدفع 35:1.اقرأ النص كله ← تربح $1,050، و$60 على رهان الرقمينرهانرهان الرقمينرقمين جنب بعض، ويدفع 17:1.اقرأ النص كله ← تربح $1,020، وعلى هالحساب. وبعدين احسب احتمال إن رهان واحد على الأقل يربح قبل ما تخلص الفلوس. ستة عشر رهان على الرقم الواحد بـ$30 كلها تطيح باحتمال (36/37)¹⁶ = 64.5%، فتوصل $1,000 في 35.5% من المرات.
الجدول يوريك كل رهان. الأحمر هو الأحسن لأنه يوصل برهان واحد، فالميزة تندفع مرة وحدة، على $500. ورهان الصفينرهانرهان الصفينستة أرقام في صفين جنب بعض، ويدفع 5:1. بالفرنسي: sixain.اقرأ النص كله ← يجي ثاني لأنه ما يحتاج إلا ثلاثة. ورهان الدزينةرهانالدزينة1–12 أو 13–24 أو 25–36، ويدفع 2:1.اقرأ النص كله ← الواحد هو الأسوأ، احتماله 12/37؛ وحتى لو لعبته بـوحداتالمالالوحدةمبلغ الرهان الأساسي اللي يشتغل فيه نظام أو لاعب. التدرّجات تنوصف بالوحدات عشان تنطبق على أي طاولة.اقرأ النص كله ← كل وحدة $250 لين يصير معاك $1,000 أو أكثر، الدزينة ما توصل إلا في 46.4% من المرات.
وبولمان (2024) يسوي نفس الجدول للعجلة الأمريكية. وفي صف الدزينة عنده غلطة: المفروض يكون 12/38 = 31.6%.
رهانمبلغ الرهان × عدد الرهاناتاحتمال توصل $1,000رهان الرقم الواحد$30 × 1635.5%رهان الرقمين$60 × 835.9%رهان الصف$90 × 534.5%رهان الزاوية$125 × 436.7%رهان الصفين$166, $166, $16841.2%الدزينة$500 × 132.4%أحمر$500 × 148.6%تراهن بوحدة وحدة على الأحمر، دورة ورا دورة، ورأس مالكالمالرأس مال اللعبالمبلغ الكلي اللي تخصصه للعب. وإدارة رأس المال إنك تحدد كم منه تخاطر فيه في كل رهان وفي كل جلسة.اقرأ النص كله ← ما يخلص أبد. بعد الدورة الأولى إنت يا رابح وحدة يا خاسر وحدة. شنو احتمال إنك في يوم من الأيام ترجع متعادل بالضبط؟
شوف الحل
الجواب 36 من 37، يعني 97.3%. وعلى العجلة الأمريكية 36 من 38، يعني 94.7%.
إذا ربحت الدورة الأولى (18 مرة من 37)، إنت رابح وحدة، والميزة تسحب كل جلسة ما لها نهاية لتحت، فعاجلًا أو آجلًا بترجع تمر على التعادل: هذا أكيد. وإذا خسرت (19 مرة من 37)، لازم تطلع وحدة، واحتمال إنك في يوم تصير رابح وحدة هو 18/19 (شوف الجدول اللي فوق).
مع بعض: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
وبشكل عام الاحتمال يساوي 1 ناقص الفرق بين احتمال إنك تربح الدورة واحتمال إنك تخسرها: 1 − 1/37 على العجلة الأوروبية، و1 − 2/38 على الأمريكية. وفي لعبة ما فيها صفرالعجلةالصفرالخانة الخضرا الوحيدة اللي ما يغطيها أي رهان دفع متساوي أو دزينة أو عمود؛ وهي مصدر ميزة الكازينو. ينقال له بعد: الصفر الواحد، 0.اقرأ النص كله ← الفرق ولا شي والاحتمال 1: الحصيلة دايمًا ترجع للتعادل. وإبستين (2013) يعطي القاعدة العامة.
لغز باسكال سنة 1656: لاعبين يرمون ثلاث زهرات نرد، وكل واحد يبدأ بـ12 قطعة عدّ. كل 11 تنقل قطعة للاعب الأول، وكل 14 تنقل قطعة للثاني؛ والرميات الثانية ما تنحسب. شنو احتمال إن اللاعب الأول ياخذ الـ24 كلها؟ ولو بدال هذا راهنت بـ1 وحدة على الأحمر كل دورة قدام ربعك اللي يلعب دور البنك، وكل واحد معاه 12 وحدة، شنو احتمال إنك تاخذ الـ24 وحدة كلها؟
شوف الحل
الجواب اللاعب الأول يفوز تقريبًا 1,157 مرة من 1,158. أما إنت، على الأحمر، فتاخذ الـ24 وحدة كلها بس في تقريبًا 34% من المرات.
ثلاث زهرات تطلّع 11 بـ27 طريقة و14 بـ15 طريقة، فكل قطعة تتحرك تروح للاعب الأول 27 مرة من 42، يعني 9 مرات من 14. ولمّا كل طرف يبدأ بـ12، احتمال إنك تاخذ كل شي هو 1/(1 + r¹²)، وr هي نسبة احتمال الطرف الثاني إلى احتمالك.
للاعب الأول r = 5/9، و(5/9)¹² ≈ 0.00086، فالاحتمال تقريبًا 0.99914: يعني نسبة 9¹² إلى 5¹²، أو 282,429,536,481 إلى 244,140,625، تقريبًا 1,157 مقابل 1. وهويغنز نشر هذي الأرقام بالضبط سنة 1657.
على الأحمر r = 19/18 بسبب الصفر، و(19/18)¹² ≈ 1.913: احتمالك 1/2.913 ≈ 34.3%. والعملة كانت بتعطي 50%. وميزة الـ2.70% في كل رهان تتجمّع، على كل الرهانات الكثيرة اللي تحتاجها، لين تصير فجوة 16 نقطة.
استراحة ضحك
اللعب الجريء هو الأمثل. وبعد يخلص بسرعة.
المصادر
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Letter to Huygens, 28 September 1656, on the problem Pascal posed to Fermat.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”